Για να προχωρήσουμε περαιτέρω στο θέμα, πρέπει όλοι να αντιληφθούμε την έννοια του συνόλου. Στα μαθηματικά δεν υπάρχει αυστηρός ορισμός της έννοιας αυτής (παλιότερα δοκιμάστικε το "μια ομάδα -μαθηματικών και μη- οντοτήτων που πληρούν μια κοινή ιδιότητα", αλλά αυτό οδήγησε σε παράδοξο). Φαντάζομαι, όλοι μπορούμε κατανοήσουμε είτε διαισθητικά, είτε βασιζόμενοι στον προηγούμενο ορισμό (αν και λανθασμένος)την έννοια του συνόλου. Ένα πολύ γνωστό σύνολο με το οποίο συναναστρεφόμαστε καθημερινά δεν είναι άλλο από αυτό των φυσικών αριθμών. Αλήθεια, τί είναι φυσικοί αριθμοί; Φαντάζομαι οι περισσότεροι από σας θα έφερναν στο μυαλό τους τις αριθμούς 1,2,3... Κάποιοι τους αριθμούς 0,1,2,3... (αν και πολλοί θα εξεγείρονταν με την προηγούμενη άποψη) ή κάποιοι θα τους φαντάζονταν ως "ολότητα με την έννοια του συνόλου |Ν={0,1,2...} (με ή χωρίς το 0, η αλήθεια είναι ότι αυτό αφήνεται ουσιαστικά στην προσωπική κρίση του συγγραφέα του εκάστοτε μαθηματικού βιβλίου το οποίο διαβάζεται. Όμως, τι στην πραγματικότητα είναι φυσικοί αριθμοί; Η αλήθεια είναι ότι έχει γίνει προσπάθεια να οριστούν οι φυσικοί αριθμοί και μάλιστα ο μαθηματικός ονόματι Peano έχει δώσει αξιώματα βάση των οποίων θεμελιώνονται οι φυσικοί αριθμοί. Με λίγα λόγια, το σύνολο των φυσικών είναι το μικρότερο σύνολο που: 1) περιέχει το κενό σύνολο (το οποίο ουσιαστικά είναι σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο -ω ναι, υπάρχει και τέτοιο- (και στους φυσικούς αριθμούς ουσιαστικά ορίζεται ως το -ποιό άλλο;- παρά το 0) 2) για κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο, ισχύει ότι και το επόμενό του ανήκει σε αυτό και 3) αν τα επόμενα 2 στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο είναι ίσα τότε και τα ίδια τα στοιχεία είναι ίσα. Είδατε εσείς πουθενά να αναφέρονται χαρακτηριστικά οι αριθμοί 1,2,3...; Εγώ πάντως όχι. Τί θέλω να πώ με αυτό ; Πολύ απλά, το ερώτημα είναι, αν ξεχάσουμε την έννοια "αριθμοί" γιατί να μην μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο των φυσικών είναι μια ακολουθία από καρέκλες, μια ακολουθία από χαρτιά ή από οποιοδήποτε μαθηματικό και μη αντικείμενο πληρεί τα παραπάνω αξιώματα; Περίεργο ακούγεται έτσι; Για σκεφτείτε το...
Υ.Γ: Πολλοί ίσως αντιδράσουν ακόμη και στην ιδέα της σκέψης της παραπάνω άποψης, όμως στα μαθηματικά όπως και σε όλες τις άλλες επιστήμες (αν δεχθούμε ότι υπάρχουν και άλλες) καλό θα ήταν να είμαστε ανοικτοί σε όλες τις "εκδοχές".
(by Χρήστος)
