Ο πιο λογικός άνθρωπος του κόσμου (;)

Να και ένα θέμα το οποίο έχει να κάνει περισσότερο με την ιστορία των μαθηματικών...
Kurt Gödel (λίγα λόγια για το background του). Αναμφισβήτητα ένας εκ των σημαντικότερων μαθηματικών όλων των εποχών ή τουλάχιστον ένας εκ των διασημότερων. Ένας (ίσως ο σημαντικότερος) από τους λόγους στους οποίους ο κ. Gödel οφείλει την διασημότητά του είναι αν μη τι άλλο, το θεώρημα της μη πληρότητας. Εν ολίγοις και υπερβολικά απλοϊκά (τόσο απλοϊκά που ίσως να είναι και λανθασμένα) αυτό που ο αυστριακός μαθηματικός υποστήριξε (και απέδειξε, αλλιώς δεν θα το λέγαν θεώρημα της μη πληρότητας) είναι ότι οποιοδήποτε σύστημα και αξιωμάτων αν πάρουμε, μπορούν να προκύψουν προτάσεις οι οποίες να μην μπορούν να αποδειχθούν, καταρρίπτοντας την μέχρι τότε βαθύτατη πεποίθηση, μιας άλλης μορφής των μαθηματικών του Hilbert ότι "Wir müssen wissen. Wir werden wissen" ("Πρέπει να μάθουμε. Θα μάθουμε.") ήτοι ότι μέσω των μαθηματικών μπορεί να φτάσει κανείς στην απόλυτη αλήθεια. Δηλαδή, αυτό που ουσιαστικά και πολύ γενικά έκανε ο Gödel ήταν να αποδείξει ότι στα μαθηματικά μπορούν να υπάρξουν προτάσεις οι οποίες δεν αποδεικνύονται. Αλλά όλα τα παραπάνω δεν μας αφορούν. Αυτό το οποίο έχει ακόμη περισσότερο ενδιαφέρον, είναι ότι ο Gödel εκτός των άλλων συνέβαλε τα μέγιστα στον χώρο της λογικής των μαθηματικών (και αυτό είναι ίσως το μόνο κοινό το οποίο είχε με τον προαναφερθέντα "πολέμιό του"). Το περίεργο (και εδώ ακριβώς είναι το ενδιαφέρων μέρος του άρθρου - ναι, όλα τα υπόλοιπα είναι απλώς σάλτσα) είναι ότι ήταν πλατωνιστής... [ΠΡΟΣΟΧΗ: Ακολουθεί παρένθεση (μεταφορικά, όχι κυριολεκτικά) η οποία εξηγεί τον πλατωνισμό στα μαθηματικά, όσοι θεωρούν ότι γνωρίζουν αρκετά σχετικά με αυτό μπορούν να την παραλείψουν χωρίς κανένα κόστος, εγγυούμαστε γιαυτό. Όσον αφορά, τα μαθηματικά λοιπόν, υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις. Η μία είναι, όπως ίσως θα χαρακτηρίζαμε, η πιο ορθολογιστική, δηλαδή ότι τα μαθηματικά είναι καθαρά ανθρώπινο δημιούργημα, το οποίο προήλθε από συγκεκριμένες ανάγκες του ανθρώπου και μετά εξελίχθηκε σε θεωρητικό επίπεδο και μπλα μπλα μπλα... Η δεύτερη είναι η πλατωνική, βασισμένη σε θεώρηση του Πλάτωνα (σωωωωώπα!!!), η οποία, εν ολίγοις, υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά ουσιαστικά προϋπάρχουν στον "κόσμο των ιδεών" με την μορφή ιδεών και αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί είναι να τα μεταφέρουν στον δικό μας κόσμο. ΤΕΛΟΣ ΠΑΡΕΝΘΕΣΗΣ (μεταφορικά, όχι κυριολεκτικά): εσείς που δεν διαβάσατε το παραπάνω κομμάτι μπορείτε να συνεχίσετε χωρίς κανένα κόστος, εγγυούμαστε γιαυτό.]
Έτσι λοιπόν, καταλήγουμε στο ότι ένας ίσως εκ των "λογικότερων" ανθρώπων της εποχής του, είχε μια πεποίθηση όσον αφορά τα μαθηματικά, που αν μη τι άλλο, στα μάτια της ομάδας φαντάζει τουλάχιστον παράλογη. Παράδοξο, δεν είναι;

(by Χρήστος)

0,999....=1!!!!!!

Απίστευτο και όμως αληθινό. Η παραπάνω ισότητα ισχύει, πράγμα που, φυσικά. αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους. Εδώ παραθέτονται, ενδεικτικά, 4 τρόποι απόδειξης.
Έχουμε και λέμε: 1) Έστω x=0,999... Θα ισχύει 10x=9,99... Aφαιρώντας την δεύτερη ισότητα από την πρώτη, έχω: 10x - x=9,99... - 0,999... => 9x=9 => x=1 δηλαδή 0,999...=1
2) Ισχύει 9/9=1 => 9*1/9=1 => 9*0,111...=1 => 0,999...=1
3) Ισχύει 1/3=0,333...=> 3*1/3=3*0,333...=>1=0,999...
4)1/3=0,333...=> 2/3=0,666... Προσθέτoντας την πρώτη με την δεύτερη ισότητα έχω: 1/3+2/3=0,666...+ 0,333...=> 3/3=0,999...=>1=0,999...

(by Χρήστος)

UPDATE: Αυτό το θέμα πάντα με διασκέδαζε και από τότε που ο Χρήστος έκανε το παραπάνω post με αυτό το αλγεβρικό κολπάκι [και ταραξε τα νερά για n-οστή φορά], ήθελα να αναρτήσω την πλήρη, αυστηρή απόδειξη. Τελικά αποφάσισα να μην το κάνω αμέσως για να δω πως θα διεξαχθεί η όλη κουβέντα[σε περίπτωση που πετύχατε αυτό το μπλογκ κατά τύχη, να σας ενημερώσουμε πως λειτουργεί ως βοηθητικό referrence, καθώς προτιμάμε να βρισκόμαστε από κοντα -καφέ,παγωτό κτλ- και να συζητάμε, αντί να ανταλλάσουμe ηλεκτρονικά (ξερά) ποστς/κόμμεντς/κτλ -καί όχι δεν είμαστε μόνο δυο, απλά οι υπόλοιποι δεν ξέρουν να χρησιμοποιούν πληκτρολόγιο]. Τώρα, με αφορμή το comment του rider [ο οποίος δεν έχω ιδέα πως βρέθηκε στην ηλεκτρονική παρέα μας, σ' αυτό το blog] αποφάσισα να ανεβάσω την απόδειξη:

Click για πλήρες μέγεθος:

Αφού, λοιπόν, ΣΥΜΦΩΝΗΣΟΥΜΕ (μα ναι, περί συμφωνίας πρόκειται!)σε αυτούς τους [ελπίζω να αντιλαμβάνεστε, λογικούς] ορισμούς, τότε και μόνο τότε θα μπορούμε να μιλάμε για το αν 0,99.. = 1. Και όπως βλέπετε ισχύει. Καλή μελέτη [και προσοχή στο φορμαλισμό!].

Μάνως.

(by Μάνος)

Το (μαθηματικό) άπειρο και ο άνθρωπος

Τι θα λέγατε αν κάποιος σας ρώταγε τι είναι άπειρο; Είναι άραγε κάτι πολύ μεγάλο, κάτι το οποίο μεγαλώνει απεριόριστα ή κάτι δεδομένο το οποίο δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε; Χμμ…θέλει σκέψη, έτσι; Είναι σίγουρο ότι αν ρωτούσαμε μια ομάδα ανθρώπων για την ερμηνεία τους σχετικά με το άπειρο, θα λαμβάναμε πολλές διαφορετικές απαντήσεις. Πάρα πολλές. Όχι άπειρες, αλλά πάντως πολλές. Εκτός και αν είχαμε άπειρα άτομα…όμως τότε…εχμ, αφήστε το. Παρόλο που σχεδόν όλοι μας έχουμε ασχοληθεί με το άπειρο τουλάχιστον μία φορά στη ζωή μας, ίσως κανείς να μην είχε αναρωτηθεί πραγματικά τι σημαίνει αυτή η τρισύλλαβη λέξη, και πόσο μάλλον να έχει δώσει μια ουσιαστική και αυστηρώς καθορισμένη έρμηνεία. Οι περισσότεροι έχουν το άπειρο στο μυαλό τους περισσότερο ή λιγότερο μια κάπως αφηρημένη έννοια. Όλα καλά μέχρι εδώ; Όχι. Όχι γιατί, τα μαθηματικά, ως γνωστόν (και αν δεν είναι γνωστό, θα γίνει) μπορούν να χαρακτηριστούν ως μια συνάρτηση 1-1 σύμφωνα με την οποία κάθε έννοια συνδέεται και με την ερμηνεία της. Δηλαδή, σχεδόν κάθε έννοια είναι αυστηρώς και καλώς καθορισμένη. Με μερικές εξαιρέσεις, όπως κάτι, όχι και τόσο μικρό…το άπειρο. Σε αυτό το σημείο θα μπορούσατε να μας χαρακτηρήσετε τρελούς. Θα μπορούσατε να πατήσετε το Χ πάνω δεξιά στο παράθυρο του Mozilla Firefox (τι; ακόμη Ιnternet Explorer χρησιμοποιείτε;) και να βγείτε από δω. Και να μην ξανασχολειθείτε ποτέ μαζί μας. Δεν θα σας κρατούσαμε κακία, αλήθεια. Εναλλακτικά όμως, θα μπορούσατε να παραμείνετε εδώ, και να μάθετε ότι οι τρελοί είναι μάλλον περισσότεροι από εμάς. Και αυτό, γιατί υπάρχουν «σχολές» μαθηματικών οι οποίες πλέον έχουν εξορίσει εντελώς το άπειρο ως έννοια από τα μαθηματικά. Υπάρχει η σύγχρονη παγκόσμια φυσική, η οποία απαγορεύει να γίνεται λόγος για το άπειρο και το απορρίπτει όταν αυτό προκύπτει ως λύση σε οποιοδήποτε πρόβλημα σύγχρονης φυσικής. Υπήρξαν δυο μαθηματικοί ονόματι Bernhardt Riemann και Nikolai Lobachevsky των οποίων η διαφωνία με το 5^ο αίτημα του Ευκλείδη (το μόνο το οποίο κάνει λόγο για μια κατάσταση στο άπειρο, τρομερή σύμπτωση έτσι;) τους οδήγησε στην δημιουργία διαφορετικών, μη ευκλείδειων γεωμετριών. Υπάρχει μια απόδειξη του πρώτου εκ των δύο παραπάνω μαθηματικών για το γεγονός ότι η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει σα απειροαθροίσματα… Μήπως όλα αυτά είναι τυχαία; Μήπως όλα αυτά δεν έχουν κοινό παρονομαστή το άπειρο; Μήπως τελικά το άπειρο είναι καλώς ορισμένο στα μαθηματικά; Περιμένουμε την δική σας, (τεκμηριωμένη πάντα) άποψη σχετικά με το θέμα.

(by Χρήστος)

Αρχή=1/2*πάν

Όλα άρχισαν από το Big Bang…Χαρήκατε φυσικοί; Χα, αυτό το blog δεν ασχολείται με την φυσική. Ναι, τώρα μπορείτε να φύγετε. Το ίδιο ισχύει και για αυτούς που μπήκαν εδώ είτε τυχαία είτε επιτηδευμένα ψάχνοντας να βρουν κάτι το ενδιαφέρον. Και αυτό γιατί τούτο το blog δεν ασχολείται με κάτι το extreme. Ούτε κάτι το ασυνήθιστο. Ούτε καν κάτι το ενδιαφέρον. Αυτό το blog ασχολείται αποκλειστικά με ανιαρά, ανούσια και συνηθισμένα μαθηματικά. Ας πάρουμε όμως από την αρχή. Σίγουρα θα αναρωτιέστε ποιος, τέλος πάντων, είναι ο σκοπός ύπαρξης αυτού του blog. Βέβαια, ακόμη και αν δεν αναρωτηθήκατε, δεν μας καίγεται καρφί. Εμείς θα σας πούμε. Όλα άρχισαν, όταν με την παρότρυνση ενός καθηγητή μαθηματικών (ονόματα στο internet δεν λέμε, είναι επικίνδυνο) συγκεντρώθηκε μια ομάδα παιδιών με κανένα κοινό, πλην ενός: τα μαθηματικά (wild guess). Ο σκοπός αυτής της ομάδας πολύ απλός και συγκεκριμένος: η ανάγνωση του βιβλίου: «Yπόθεση Riemann: Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς» του John Derbyshire (όχι , ο σκοπός αυτού του blog δεν είναι η διαφήμιση, όπως πολλοί θα νομίσατε) με απώτερο στόχο την πλήρη κατανόηση της εικασίας του Riemann σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Όμως όπως είναι συνήθες όταν κάποιος ασχολείται με τα μαθηματικά, οι δραστηριότητες της «ομάδας» διευρύνθηκαν όσων αφορά την θεματολογία και έτσι αυτό που αρχικά τιτλοφορούταν «λέσχη ανάγνωσης» μετατράπηκε σε μια παρέα που συναντιόταν τακτικά για να μιλήσει για τα μαθηματικά. Πού κολλάει το internet στην όλη ιστορία; Είναι απλό. Από τις συζητήσεις της προαναφερθείσας «ομάδας», όσο απίστευτο και αν σας φαίνεται, προκύπτουν μερικά ενδιαφέροντα αποτελέσματα, μικρά ενδιαφέροντα θέματα που σχετίζονται με τα μαθηματικά, αποτελέσματα ή «ανακαλύψεις» , αν θέλετε, τις οποίες αποφασίσαμε να μοιραστούμε και με ένα ευρύτερο σύνολο ανθρώπων το οποίο με τη σειρά του μοιράζεται το ίδιο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά με εμάς. Ο σκοπός αυτού του blog λοιπόν είναι η δημοσίευση διαφόρων ενδιαφέροντων θεμάτων, σχετικών πάντα με τα μαθηματικά από οποιοδήποτε μέλος της παρέας μας και ο σχολιασμός, καθώς και οι απόψεις ή οι προτάσεις εκ μέρους σας, όπως και η γενικότερη συζήτηση πάνω στο συγκεκριμένο θέμα. Περιμένουμε τα σχόλιά σας με ανυπομονησία.

Φιλικά,

Λέσχη του Άπειρου

ΥΓ: Αν πραγματικά υπάρξει ενδιαφέρον μέσα από το όλο τολμηρό εγχείρημα υπάρχει και η μακροπρόσθεμη προοπτική της δημιορυγίας ενός σχετικού forum (ευσεβείς πόθοι)…

(by Χρήστος)