25/11/08

Πορτοκαλί Σύνολο

Το πορτοκαλί είναι ωραίο χρώμα. Πορτοκαλί είναι τα πορτοκάλια και άλλα ωραία πράγματα στην ζωή. Η ομορφιά του χρώματος αυτού όμως δεν πρόκειται να μας απασχολήσει στο συγκεκριμένο άρθρο.
Πολλοί από σας θα γνωρίζετε, θα έχετε ξανακούσει -και λιγότεροι θα γνωρίζετε προσωπικά- το κενό σύνολο. Τούτο το αξιοθαύμαστο σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο (!). Αξιωματικά (στην θεμελίωση της συνολοθεωρίας από Ζermelo - Fraenkel) λέμε ότι υπάρχει σύνολο x τέτοιο για το οποίο ισχύει ότι δεν υπάρχει σύνολο y τέτοιο ώστε να ανήκει στο x. Όχι και ό,τι πιο εύκολο να αντιληφθεί κανείς, αλλά τι να κάνουμε, έτσι είναι τα μαθηματικά. Το εντυπωσιακό σχετικά με αυτό το σύνολο είναι ότι ό,τι και να ισχυριστείς για τα στοιχεία του ισχύει. Για παράδειγμα, μπορούμε να δοκιμάσουμε να ισχυριστούμε ότι όλα τα στοιχείατου κενού συνόλου είναι πορτοκαλί.
(Πρόταση:)Έστω λοιπόν ότι όλα τα στοιχεία του είναι όντως πορτοκαλί.
Θα αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση με την γνωστή μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο.
[Σύντομη σημείωση: Η απαγωγή σε άτοπο γνωστή και ως εις άτοπο απαγαγωγή για τους λάτρεις της αρχαίζουσας δεν έχει να κάνει με λύτρα, μασκοφόρους, όπλα και μπάτσους. Είναι μια μέθοδος απόδειξης στα μαθηματικά, η οποία ουσιαστικά λειτουργεί ως εξής: αν έχουμε δύο ενδεχόμενα, τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει το ένα, εξασφαλίζοντας ότι αποκλείεται να ισχύει το άλλο (τότε λέμε ότι καταλήξαμε σε άτοπο) Πολλοί από σας τώρα θα με κοροϊδεύετε που μπήκα στον κόπο να εξηγήσω κάτι τόσο γνωστό, όμως σας πληροφορώ ότι υπάρχουν ρεύματα μαθηματικών τα οποία δεν την δέχονται τόσο αβίαστα]
Έτσι λοιπόν και εδώ, ας ισχυριστούμε ότι ισχύει το αντίθετο δηλαδή ότι δεν είναι όλα τα στοιχεία του κενού συνόλου πορτοκαλί, ισοδύναμα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του κενό συνόλου το οποίο δεν είναι πορτοκαλί, για να αποδείξουμε τελικά ότι αποκλείεται να συμβαίνει αυτό και άρα ότι όλα τα στοιχεία του κενού είναι πορτοκαλί. Προχωρούμε.
(Απόδειξη:)Έστω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο που ανήκει στο κενό σύνολο και δεν είναι πορτοκαλί. Άτοπο.
Γιατί άτοπο; Μα γιατί δεν υπάρχει στοιχείο που ανήκει στο κενό σύνολο και δεν είναι πορτοκαλί, πολύ απλά γιατί δεν υπάρχει στοιχείο που ανήκει στο κενό σύνολο (παιχνίδια της λογικής: η σύζευξη μιας ψευδούς και μια αληθούς πρότασης είναι μια ψευδής πρόταση, πρόταση δηλαδή που "δεν ισχύει", σκεφτείτε το). Επομένως, όπως είπαμε, δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο που να ανήκει στο κενό σύνολο και να μην είναι πορτοκαλί, άρα όλα τα στοιχεία του κενού συνόλου είναι πορτοκαλί. Ακόμη πιο εξωφρενικό είναι να σκεφτείτε ότι εύκολα αποδεικνύουμε ότι κανένα στοιχείο του κενού συνόλου δεν είναι πορτοκαλί (αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη). Το ίδιο εύκολα, αποδεικνύουμε ότι τα στοιχεία του κενού συνόλου είναι μωβ, κόκκινα, πορτοκαλοκίτρινα, έχουν μαύρα μαλλιά, κατουράνε μια φορά το μήνα (ή και τις αρνήσεις όλων των παραπάνω προτάσεων). Ωωω. Εντυπωσιακό.

ΕΚΚΛΗΣΗ ΠΡΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΤΕΣ: Μην ακούσω τίποτα εντάσεις σχετικά με το πώς ορίζονται τα μαλλιά, το πορτοκαλί και το πουλί ως αντικείμενα της Θεωρίας Συνόλων, μερικές φορές είναι ωραίο να ξεχνιέσαι και να αφήνεις την ελευθερία της έκφρασης να σε παρασύρει.

(by Χρήστος)

5/3/08

H Φύση των Φυσικών


Για να προχωρήσουμε περαιτέρω στο θέμα, πρέπει όλοι να αντιληφθούμε την έννοια του συνόλου. Στα μαθηματικά δεν υπάρχει αυστηρός ορισμός της έννοιας αυτής (παλιότερα δοκιμάστικε το "μια ομάδα -μαθηματικών και μη- οντοτήτων που πληρούν μια κοινή ιδιότητα", αλλά αυτό οδήγησε σε παράδοξο). Φαντάζομαι, όλοι μπορούμε κατανοήσουμε είτε διαισθητικά, είτε βασιζόμενοι στον προηγούμενο ορισμό (αν και λανθασμένος)την έννοια του συνόλου. Ένα πολύ γνωστό σύνολο με το οποίο συναναστρεφόμαστε καθημερινά δεν είναι άλλο από αυτό των φυσικών αριθμών. Αλήθεια, τί είναι φυσικοί αριθμοί; Φαντάζομαι οι περισσότεροι από σας θα έφερναν στο μυαλό τους τις αριθμούς 1,2,3... Κάποιοι τους αριθμούς 0,1,2,3... (αν και πολλοί θα εξεγείρονταν με την προηγούμενη άποψη) ή κάποιοι θα τους φαντάζονταν ως "ολότητα με την έννοια του συνόλου |Ν={0,1,2...} (με ή χωρίς το 0, η αλήθεια είναι ότι αυτό αφήνεται ουσιαστικά στην προσωπική κρίση του συγγραφέα του εκάστοτε μαθηματικού βιβλίου το οποίο διαβάζεται. Όμως, τι στην πραγματικότητα είναι φυσικοί αριθμοί; Η αλήθεια είναι ότι έχει γίνει προσπάθεια να οριστούν οι φυσικοί αριθμοί και μάλιστα ο μαθηματικός ονόματι Peano έχει δώσει αξιώματα βάση των οποίων θεμελιώνονται οι φυσικοί αριθμοί. Με λίγα λόγια, το σύνολο των φυσικών είναι το μικρότερο σύνολο που: 1) περιέχει το κενό σύνολο (το οποίο ουσιαστικά είναι σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο -ω ναι, υπάρχει και τέτοιο- (και στους φυσικούς αριθμούς ουσιαστικά ορίζεται ως το -ποιό άλλο;- παρά το 0) 2) για κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο, ισχύει ότι και το επόμενό του ανήκει σε αυτό και 3) αν τα επόμενα 2 στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο είναι ίσα τότε και τα ίδια τα στοιχεία είναι ίσα. Είδατε εσείς πουθενά να αναφέρονται χαρακτηριστικά οι αριθμοί 1,2,3...; Εγώ πάντως όχι. Τί θέλω να πώ με αυτό ; Πολύ απλά, το ερώτημα είναι, αν ξεχάσουμε την έννοια "αριθμοί" γιατί να μην μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο των φυσικών είναι μια ακολουθία από καρέκλες, μια ακολουθία από χαρτιά ή από οποιοδήποτε μαθηματικό και μη αντικείμενο πληρεί τα παραπάνω αξιώματα; Περίεργο ακούγεται έτσι; Για σκεφτείτε το...

Υ.Γ: Πολλοί ίσως αντιδράσουν ακόμη και στην ιδέα της σκέψης της παραπάνω άποψης, όμως στα μαθηματικά όπως και σε όλες τις άλλες επιστήμες (αν δεχθούμε ότι υπάρχουν και άλλες) καλό θα ήταν να είμαστε ανοικτοί σε όλες τις "εκδοχές".

(by Χρήστος)