15/10/07

Το (μαθηματικό) άπειρο και ο άνθρωπος

Τι θα λέγατε αν κάποιος σας ρώταγε τι είναι άπειρο; Είναι άραγε κάτι πολύ μεγάλο, κάτι το οποίο μεγαλώνει απεριόριστα ή κάτι δεδομένο το οποίο δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε; Χμμ…θέλει σκέψη, έτσι; Είναι σίγουρο ότι αν ρωτούσαμε μια ομάδα ανθρώπων για την ερμηνεία τους σχετικά με το άπειρο, θα λαμβάναμε πολλές διαφορετικές απαντήσεις. Πάρα πολλές. Όχι άπειρες, αλλά πάντως πολλές. Εκτός και αν είχαμε άπειρα άτομα…όμως τότε…εχμ, αφήστε το. Παρόλο που σχεδόν όλοι μας έχουμε ασχοληθεί με το άπειρο τουλάχιστον μία φορά στη ζωή μας, ίσως κανείς να μην είχε αναρωτηθεί πραγματικά τι σημαίνει αυτή η τρισύλλαβη λέξη, και πόσο μάλλον να έχει δώσει μια ουσιαστική και αυστηρώς καθορισμένη έρμηνεία. Οι περισσότεροι έχουν το άπειρο στο μυαλό τους περισσότερο ή λιγότερο μια κάπως αφηρημένη έννοια. Όλα καλά μέχρι εδώ; Όχι. Όχι γιατί, τα μαθηματικά, ως γνωστόν (και αν δεν είναι γνωστό, θα γίνει) μπορούν να χαρακτηριστούν ως μια συνάρτηση 1-1 σύμφωνα με την οποία κάθε έννοια συνδέεται και με την ερμηνεία της. Δηλαδή, σχεδόν κάθε έννοια είναι αυστηρώς και καλώς καθορισμένη. Με μερικές εξαιρέσεις, όπως κάτι, όχι και τόσο μικρό…το άπειρο. Σε αυτό το σημείο θα μπορούσατε να μας χαρακτηρήσετε τρελούς. Θα μπορούσατε να πατήσετε το Χ πάνω δεξιά στο παράθυρο του Mozilla Firefox (τι; ακόμη Ιnternet Explorer χρησιμοποιείτε;) και να βγείτε από δω. Και να μην ξανασχολειθείτε ποτέ μαζί μας. Δεν θα σας κρατούσαμε κακία, αλήθεια. Εναλλακτικά όμως, θα μπορούσατε να παραμείνετε εδώ, και να μάθετε ότι οι τρελοί είναι μάλλον περισσότεροι από εμάς. Και αυτό, γιατί υπάρχουν «σχολές» μαθηματικών οι οποίες πλέον έχουν εξορίσει εντελώς το άπειρο ως έννοια από τα μαθηματικά. Υπάρχει η σύγχρονη παγκόσμια φυσική, η οποία απαγορεύει να γίνεται λόγος για το άπειρο και το απορρίπτει όταν αυτό προκύπτει ως λύση σε οποιοδήποτε πρόβλημα σύγχρονης φυσικής. Υπήρξαν δυο μαθηματικοί ονόματι Bernhardt Riemann και Nikolai Lobachevsky των οποίων η διαφωνία με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη (το μόνο το οποίο κάνει λόγο για μια κατάσταση στο άπειρο, τρομερή σύμπτωση έτσι;) τους οδήγησε στην δημιουργία διαφορετικών, μη ευκλείδειων γεωμετριών. Υπάρχει μια απόδειξη του πρώτου εκ των δύο παραπάνω μαθηματικών για το γεγονός ότι η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει σα απειροαθροίσματα… Μήπως όλα αυτά είναι τυχαία; Μήπως όλα αυτά δεν έχουν κοινό παρονομαστή το άπειρο; Μήπως τελικά το άπειρο είναι καλώς ορισμένο στα μαθηματικά; Περιμένουμε την δική σας, (τεκμηριωμένη πάντα) άποψη σχετικά με το θέμα.


(by Χρήστος)

4 σχόλια:

Regina είπε...

Kαι ακόμα πιο περίεργο το ότι υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου!

Χρήστος είπε...

Kάπως έτσι. Ο περίφημος μαθηματικός Georg Cantor σε μια προσπάθεια εδραίωσης του εν ενεργεία απείρου στα μαθηματικά (ναι, μέχρι τότε δεν ήταν γενικώς αποδεκτό από την παγκόσμια μαθηματική κοινότητα)εισήγαγε την θεωρία συνόλων έναν, κατ' εμέ πολύ ενδιαφέροντα κλάδο των μαθηματικών. Μέσα από αυτόν κατάφερε (ή καλύτερα, νόμισε ότι κατάφερε) ουσιαστικά να θεμελιώσει αξιωματικά όλα τα μαθηματικά. Μέσα στη συνολοοθεωρία του Cantor λοιπόν ορίζεται η έννοια πληθάριθμος πεπερασμένου συνόλου, ο οποίος δεν είναι άλλος από τον αριθμό των στοιχείων του. Έτσι λοιπόν φτάνοντας στο σημείο να "κατασκευάσει" το σύνολο των φυσικών αριθμών. Όπως οι περισσότεροι θα γνωρίζετε, οι φυσικοί αριθμοί γενικά θεωρούνται άπειροι. Έτσι λοιπόν ο Cantor ονόμασε τον πληθάριθμο των φυσικών αριθμών άλεφ0. Βέβαια, όπως οι περισσότεροι (οι ίδιοι με αυτούς που γνώριζαν το παραπάνω) θα ξέρετες, οι πραγματικοί αριθμοί είναι επίσης άπειροι. Έλα όμως που ο Cantor απέδειξε ότι δεν έρχονται σε αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς (?). Δηλαδή, τι; Είναι άπειροι; Περισσότεροι άπειροι; Κάπως έτσι... Έτσι λοιπόν, ο κύριος Cantor ονόμασε τον πληθάριθμο των πραγματικών αριθμών άλεφ1 (και μάλλιστα ισχύει ότι άλεφ1=2^άλεφ0), δικαιολογόντας αυτή του την κίνηση με το ότι το άλεφ1 και το άλεφ0 είναι "διαφορετικής ποιότητας" άπειρα (what the...?). Όλα καλά μέχρι εδώ; Όχι. Για την ακρίβεια, ελπίζουμε πως από τα παραπάνω γραφόμενα σας έχουν γεννηθεί πολλά ερωτήματα. Και αυτό γιατί, η θεωρία συνόλων παρουσιάζει έναν σεβαστό αριθμό παραδόξων. Ευελπιστούμε σε ένα μελλοντικό άρθρο να τα παρουσιάσουμε αξιοπρεπώς όλα.

Raiden Freeman είπε...

Το άπειρο πρώτα απ όλα δεν είναι αριθμός αλλά σύμβολο και κατά τη γνώμη μου καταχρηστικά το χρησιμοποιούμε σε ισότητες. Πχ 0*άπειρο = απροσδιοριστία. Αν ήταν αριθμός θα ξέραμε ότι κάνει 0. Αυτό μπορεί να κάνει από ρίζα 3 μέχρι ρίζα π στην 54626 :P.
Αυτή η κατάσταση το κάνει εξ ορισμού απροσδιόριστο ως σύμβολο, και παράγει τα προβλήματα του στυλ, άπειρα σημεία το ΑΒ ευθ. τμήμα, άπειρα και το ΓΔ άρα δεν είναι ίσα; Και όντως υπάρχει πιο άπειρο και λιγότερο άπειρο, γιατί προφανώς, το άπειρο είναι μια έννοια που δεν μπορούμε να κατανοήσουμε (προς το παρόν), και εφόσον δεν το έχουμε ορίσει σωστά (λόγω έλλειψης κατανόησης) ναι μπορεί να υπάρχει μεγαλύτερο και μικρότερο άπειρο.
Εδώ ταιριάζει και το μέγεθος του σύμπαντος και η γνωστή αστεία ατάκα του Einstein "2 πράγματα είναι άπειρα: το σύμπαν και η ανθρώπινη βλακεία, και δεν είμαι καθόλου σίγουρος για το 1ο". Το οποίο όσο αστείο κι αν ακούγεται είναι απόλυτα σωστό. Το σύμπαν αν όντως είναι έτσι όπως νομίζουμε τώρα, είναι "μεγάλο" και "μεγαλώνει" συνεχώς. Δεν είναι άπειρο, έχει όρια, απλά αυτά αυξάνονται συνέχεια. Κάπως το είχε θέσει ο Hawking, αλλά δν το θυμάμαι. Νομίζω πεπερασμένο άπειρο ή κάτι τέτοιο...

τα μαθηματικά συμβαίνουν είπε...

μία ερμηνεία του απείρου, έτσι όπως το αντιλαμβάνομαι διαισθητικά εγώ, στη γενική του μορφή, στην κοινή του χρήση, είναι σαν το σύμπαν. μεγαλώνει, τρέχει, δεν είναι σταθερό. μπορεί να μεγαλώνει γρήγορα, αργά ή σταθερά πιο πολύ σε σχέση με κάποιο άλλο. π.χ. καθώς μεγαλώνει το x, το x^2 μεγαλώνει με μικρότερο ρυθμό από ότι το x^3. μεγαλώνει συνεχώς λοιπόν, δεν έχει πέρας, είναι άπειρο.
αυθαίρετες λέξεις: μεγαλώνει συνεχώς, ρυθμός, γρήγορα, αργά. που τις λέω σε ανθρώπους, για να περιγράψω κάτι που αντιλαμβανόμαστε.
στα "χαρτιά" όμως δε μπορούν να γραφτούν αυτά όμως, δεν είναι σαφώς ορισμένα. έτσι έρχονται π.χ. οι ε/δ ορισμοί. μιλάνε για άπειρο, εννοούνε άπειρο, χωρίς να το αναφέρουν. σου λένε δηλαδή ότι κάθε φορά, πάρε όποια "στιγμή" του απείρου θες. το άπειρο, την ποσότητα που συνεχώς αυξάνεται δλδ με ένα συγκεκριμένο τρόπο, σταμάτα τη κάπου, όπου σε βολέυει, και βγάλε το συμπεράσμά σου. δεν έχουμε άπειρο στα μαθηματικά. έχουμε στιγμές απείρου.
τώρα, όταν λέμε άπειρο προς άπειρο είναι απροσδιόριστο, ε σαφώς και έιναι, αφού δεν είναι ίδιος ο ρυθμός που μεγαλώνουν όλες οι ποσότητες. αν τώρα βγει μια τέτοια μορφή ίση με 3, τότε σημείναι ότι σε κάθε στιγμή αυτών των απείρων, το πηλίκο των ποσοτήτων είναι 3. αν βγει ίση με άπειρο, σημαίνει ότι η μία ποσότητα μεγαλώνει με άπειρο ρυθμό (!). με ρυθμό δηλαδή που μεγαλώνει συνεχώς. :))

πολλά είπα, αλλά το χάρηκα.. δε μπορείς να σκεφτείς αν δεν τα πεις, έστω μέσα σου. ο λόγος δομεί τη σκέψη.. άλλη συζήτηση αυτή..

χαίρομαι που σας βρήκα, να 'στε καλά.