15/10/07

0,999....=1!!!!!!

Απίστευτο και όμως αληθινό. Η παραπάνω ισότητα ισχύει, πράγμα που, φυσικά. αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους. Εδώ παραθέτονται, ενδεικτικά, 4 τρόποι απόδειξης.
Έχουμε και λέμε: 1) Έστω x=0,999... Θα ισχύει 10x=9,99... Aφαιρώντας την δεύτερη ισότητα από την πρώτη, έχω: 10x - x=9,99... - 0,999... => 9x=9 => x=1 δηλαδή 0,999...=1
2) Ισχύει 9/9=1 => 9*1/9=1 => 9*0,111...=1 => 0,999...=1
3) Ισχύει 1/3=0,333...=> 3*1/3=3*0,333...=>1=0,999...
4)1/3=0,333...=> 2/3=0,666... Προσθέτoντας την πρώτη με την δεύτερη ισότητα έχω: 1/3+2/3=0,666...+ 0,333...=> 3/3=0,999...=>1=0,999...

(by Χρήστος)

UPDATE: Αυτό το θέμα πάντα με διασκέδαζε και από τότε που ο Χρήστος έκανε το παραπάνω post με αυτό το αλγεβρικό κολπάκι [και ταραξε τα νερά για n-οστή φορά], ήθελα να αναρτήσω την πλήρη, αυστηρή απόδειξη. Τελικά αποφάσισα να μην το κάνω αμέσως για να δω πως θα διεξαχθεί η όλη κουβέντα[σε περίπτωση που πετύχατε αυτό το μπλογκ κατά τύχη, να σας ενημερώσουμε πως λειτουργεί ως βοηθητικό referrence, καθώς προτιμάμε να βρισκόμαστε από κοντα -καφέ,παγωτό κτλ- και να συζητάμε, αντί να ανταλλάσουμe ηλεκτρονικά (ξερά) ποστς/κόμμεντς/κτλ -καί όχι δεν είμαστε μόνο δυο, απλά οι υπόλοιποι δεν ξέρουν να χρησιμοποιούν πληκτρολόγιο]. Τώρα, με αφορμή το comment του rider [ο οποίος δεν έχω ιδέα πως βρέθηκε στην ηλεκτρονική παρέα μας, σ' αυτό το blog] αποφάσισα να ανεβάσω την απόδειξη:


Click για πλήρες μέγεθος:




Αφού, λοιπόν, ΣΥΜΦΩΝΗΣΟΥΜΕ (μα ναι, περί συμφωνίας πρόκειται!)σε αυτούς τους [ελπίζω να αντιλαμβάνεστε, λογικούς] ορισμούς, τότε και μόνο τότε θα μπορούμε να μιλάμε για το αν 0,99.. = 1. Και όπως βλέπετε ισχύει. Καλή μελέτη [και προσοχή στο φορμαλισμό!].

Μάνως.

(by Μάνος)

18 σχόλια:

Manos είπε...

Gia na min mperdevomaste
to 0,999... einai ORIO, opos ipodilonoyn kai oi telitses.
Sigekrimena einai

Lim 0,a(1)a(2)a(3)..a(n)
n-->apeiro
me a(j)=9 gia j=1,2,3...,n
ORIO.O-R-I-O!

Regina είπε...

Ενδιαφέρον!

Rider είπε...

Kirioi. Eho simantikotates enstaseis gia to thema. Prosekste me parakalo...
0,9999...=1, ara.... (afto pou tha deite parakato den to kanei oute o Coperfield!:))

0,999... * 2 = 2
0,999...998 = 2 !!! e? kalo?
ara, kata vathos, kapoy iparhei lathos... ki eho ki alla magika!
giati na min poume oti 0,9999 einai iso me ton eks'aristeron geitona tou, to 0,9999...998 ??
to idio den apehei apo oti me to ena?
loipon, kata tin prosopiki mou gnomi, einai toulahiston afthaireto na pei kaneis oti 10*0,999..=9,9999=9+a !!!
kai poios sas eipe oti to dekadiko meros einai pleon a????
ego leo oti einai 0,999...990 !!!
ean loipon mou peite oti ta eniaria paramenoun, kante to idio kai me to 1,000...001, pollaplasiaste epi 10 klp klp
diladi 0,999...=1,0000...001
diladi 0,999...998 = 2,0000...002 !!
(anoigei i psalida epikindina)
Defteron-afora OLES tis methodous me ti diairesi
poios sas eipe oti 1/3=0,333...?
to deftero skelos einai mia PROSPATHEIA APEIKONISIS STO HARTI kai O H I to 1/3 !! Ola ta parapano, mporei kalista kai na einai lathos, alla parakalo an einai na diagnoste kati tetoio, as ginei me mathimatiko tropo ki emfani stoiheia. Nomizo oti mono kai mono o pollaplasiasmos me to 2 kathos kai to erotima gia to 0,999...998 , deihnoun apo mona tous to parastratima...panta kata tin tapeini mou gnomi. tha haro na sas do sto blogg : intimeinspace.blogspot.com ! ta leme loipon!

Μάνος είπε...

Φιλε rider.

Ρίξε μια ματιά πάλι στο post. Ανέβασα αυστηρή απόδειξη. ;)
Χαιρετώ.

ΥΓ.Να ρωτήσω, Γιατί γράφεις 0,999... * 2 = 2 και μετά 0,999...998 = 2 ? Το 0,99... δεν ισουται με το 0,99...998.

Xρήστος είπε...

Ευτυχώς ο φίλτατος Μάνος με έβγαλε από τον κόπο να παραθέσω την απόδειξη μέσω ενός πραγματικά τεράστιου comment. Φίλε rider ηα λήθεια είναι ότι στην πραγματικότητα 0,99...998 δεν ισούται με 2*ο,999..., ούτε το 0,999...998 απέχει το ίδιο απ'το 0,999.... όσο το 0,999.... απ΄το 1 (και η απάντηση εδώ είναι απλή: το 1 δεν ισούται με το 0,99...998). Ίσως να μην είναι προφανές όμως όταν λέμε 0,999.... εννοούμε ότι τα εννιάρια που ακολουθούν την υποδιαστολή είναι άπειρα. Αντίθετα, τα εννιάρα που ακολουθούν την υποδιαστολή στον αριθμό 0,999...998 είναι πεπερασμένα. Μπορεί να είναι m, μπορεί να είναι n, μπορεί να είναι όσα θέλεις, παραμένουν όμως ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ. Δηλαδή, μπορείς να αρχίσεις να τα μετράς και κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή θα τελειώσεις (σε αντίθεση με τα άπειρα). Eπομένως η διαφορά του αριθμού 0,999... με τον αριθμό 0,999...998 είναι πραγματικά μεγάλη.

Ορίστε και μερικές σημειώσεις όσων αφορά στην απόδειξη που παρέθεσε ο Μάνος:
an: Σχεδόν όλοι ξέρουμε τι είναι μια συνάρτηση. Ακολουθία λοιπόν, καλείται ένας ειδικός τύπος συνάρτησης, ο οποίος έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών (δηλ. τους αριθμούς 1,2,3...) και ως πεδίο τιμών τους πραγματικούς αριθμούς. Συνήθως κάθε όρος της συμβολίζεται με a(n) ή πιο απλοϊκά an (π.χ. a1) με τον αριθμό που περικλείεται από την παρενθεση να υποδηλώνει και για ποιόν όρο της ακολουθίας γίνεται λόγος αλλά και ποιον αριθμών κάθε φορά "εισάγουμε" (συγγνώμη για την άστοχη και ίσως δολοφονική έκφραση, απλά δεν μου έρχεται πιο ταιριαστός όρος αυτή τη στιγμή) στην ακολουθία για να λάβουμε την τιμή του. Αντιλαμβάνεστε φυσικά ότι κάθε ακολουθία έχει άπειρους όρους, μιας και οι φυσικοί αριθμοί τυγχάνει να είναι άπειροι.
sn: Ακολουθία μερικών αθροισμάτων - ουσιαστικά είναι αυτό που υποδηλώνει το όνομά της: πρόκειται για μια ακολουθία η οποία προκύπτει αν αθροίσουμε τους όρους μιας άλλης ακολουθίας. Π.χ. μια ακολουθία μερικών αθροισμάτων sn της an θα ορίζεται ως εξής: s1= a1, sa2= a1 + a2 κ.ο.κ. Γενικά ο τύπος της θα είναι sn = a1 + a2 +....+an. Ο επόμενος όρος που θα χρειαστούμε δεν είναι άλλος από αυτόν της σειράς.
Σan: Σειρά - ουσιαστικά αποκαλείται το όριο της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων της an. Λυπαμαι αν δε γνωρίζετε τι ακριβώς είναι αυτό, όμως δε θέλω να κάτσω να εξηγήσω τι είναι και να επεκταθώ τόσο πολύ. Λοιπόν όπως είπαμε ισχύει Σan=limsn (εννοείται πάντα ότι n->oo).
Ελπίζω οι όποιες τυχόν απορίες δημιουργούνται από την απόδειξη του Μάνου να εξαλειφθούν με τις παραπάνω επεξηγήσεις.

Manos είπε...

Rider,
mallon ennoeis 2*0,999... = 1,99..98
To 0 prin tin ipodiastoli prepei na einai tipografico. Oxi omos, giati to 0,99.. exei apeira psifia, to 1,99..98 exei peperasmena. Se poia thesi tha valeis to telefteo 8? Mi moy peis stin teleftea, giati efoson to 0,99.. exei apeira psifia, tote den iparxi teleftea.
Sorry gia ta greeklish, alla viazomai ligo

Manos είπε...

Treamiller stfu noob

Rider είπε...

Kat'arhin efharisto gia to endiaferon! (einai ontos ena kalo themataki!), file XRHSTO omos, na sou po oti genika eho sizitisei to thema kai me mathimatikous kai PANTA to antimetopizan me poli prosohi. Einai ligo epifovo na kataligoume se siberasma. Den sou krivo oti mehri tora evriska apopseis pou simfonousan me tin diki mou. Dioti, nai -sigoura kai oposdipote sigglinei h' plisiazei, alla MONO mehri ekei... ehei terastia diafora to "plisiazo" apo to "eimai isos me.." . Oso gia tin paratirisi sou, asfalos agapite DEN ennoo oti iparhoun peperasmena enniaria sto 0,99...8 ! kai eidou:
0,99...8 = 1 - (2/10....)(pistevo oti stin ekfrasi afti IPARHEI ohtari sto telos)
Ta enniaria einai asfalos apeira-gia tin akriveia, tosa osa kai ta midenika ston paranomasti 10...., diladi... apeira! :) oso gia tis apodeikeis aftes, pistepste me mou einai gnostes apo to Likeio (akomi kai i periptosi ton seiron den einai para mia geometriki seira me to l<1 opou pragmati efkola prokeiptei to atrhoisma apeiron oron), alla...epitrepste mou gia kapoion logo na min aisthanomai oti me kaliptoun...! Den apofainomai, apla provlimatizomai! prospopika omos eksakoloutho na pistevo oti einai dio diaforetikoi arithmoi. Malista se kapoio simeio anaferetai oti to 0,9999... apehei apo to 1 toso oso kai apo to 0,99...8 , einai diladi "geitones", ara afto pou rotisa genika einai giati na min ta eksisosoume? kai, telos, oso gia ton filo pou mou eipe oti to 0,999 den einai 0,99..., signomi agapite pou ksehasa tis teleies, alla...ti na po vre paidia, se ena tetoio thema sizitisis einai mallon profanes..anyway! Kaneis omos (SIGOURA KANEIS) den mporei na mou apantisei sto parakato !! :
Giati iparhei PANTA se ola ta forum sizitisis mathimatikon ena TRELA ehthriko klima!!! an einai dinaton ! opou ki an eho mpei, o enas prospathei na apodeiksei oti o allos den kserei tipota kai oti einai kai vlakas!!!! ASFALOS kai den to sinantisa afto edo, allios pistepste me apla tha agnoousa ta sholia! As sinehisoume na provlimatizomaste loipon, ospou kapoia mera, o anthropos na APODEIKSEI oti den mporei na kanei formalismo se TIPOTA, den mporei ek kataskevis tou na theorei arithmous se theoritiko epipedo , para mono se praktiko, kai epitelous o monos stohos na einai i evimereia OLON (ohi mono tou Bush!)

Rider είπε...

Να μαι και παλι! Μανο, σορρυ αλλα απο τη βιασυνη μου δέν είχα δεί πριν κάποιες απο τις παρατηρήσεις σου.Ναί, ασφαλώς και είναι τυπογραφικό λάθος το μηδέν που έβαλα ! :) Επίσης να παρατηρήσω και κάτι απο το αρχικό σου σχόλιο. Οτι δηλαδή το 0,99.. δέν είναι αριθμός αλλα όριο. Εάν με ρωτήσεις ΑΥΣΤΗΡΑ την άποψή μου, θα διαφωνήσω. Αριθμός είναι. Απλά ο άνθρωπος δέν μπορεί να τον εκφράσει "άμεσα". Θέλεις κάποιον συμβολισμό για να δείξεις στον άλλο οτι πρόκειται για άπειρα εννιάρια. Ελπίζω να μήν κάνω τραγικό λάθος, αλλά είναι απλά και μόνο ένας ακόμη δεκαδικός με άπειρα ψηφία, όπως το π ή το ρίζα 2 (ασφαλώς βέβαια τα τελευταία είναι άρρητοι!!). Όσον αφορά στο ότι "δέν υπάρχει τελευταία θέση για να βάλλεις 8άρι ή οτιδήποτε άλλο", απλά να ρωτήσω τότε : τί σημαίνει αυτό βρε παιδιά? δέν υπάρχουν άλλοι αριθμοί στον κόσμο απο τα άπειρα εννιάρια? (το λέω με αρκετή τραγικότητα! καταλαβαίνετε όμως τί εννοώ, είμαι σίγουρος). Τότε δηλαδή, ΟΛΟΙ οι αριθμοί της παρακάτω μορφής, είναι ίσοι:
Κ - (χ/10....) , όπου: Κ τυχαίος, αλλα συγκεκριμένος αριθμός, χ ΟΠΟΙΟΣΔΗΠΟΤΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ αριθμός επιλέξω! Δηλαδή να υποθέσω οτι υποστηρίζετε οτι επειδή η παρένθεση είναι μηδενική (ΟΧΙ ΟΜΩΣ ΜΗΔΕΝ!!) η παραπάνω έκφραση είναι σταθερά Κ. Έχω την ισχυρή υποψία ότι απλά πλησιάζει το Κ, αλλα ποτέ δέν γίνεται ίσο, και μάλιστα με διαφορετικό τρόπο για το κάθε χ!! Ας φέρω π.χ. σάν παράδειγμα το (1 + 1/χ)^χ , με χ τείνοντος στο άπειρο. Το 1/χ, ΔΕΝ θεωρείται μηδέν!! Χαρακτηριστικά θα σας αναφέρω την φράση του καθηγητή μου στο Πολυτεχνείο, του κ. Αγγελόπουλου όταν τον είχα ρωτήσει στο πρώτο έτος : "Ποιός σας είπε οτι η παρένθεση γίνεται άσσος? είναι 1+0΄" !!!!!! (εννοώντας φυσικά οτι το 1/χ γίνεται μιά ποσότητα που πλησιάζει απλά το μηδέν, αλλα ποτέ δέν γίνεται μηδέν!!), οπότε -και είχε ΑΠΟΛΥΤΟ δίκιο- η ύψωση μετά εις το άπειρο, μεγενθύνει αυτή την τείνουσα στο μηδέν ποσότητα, κι έτσι το αποτέλεσμα δέν είναι μονάδα, αλλα... e !!! Ελπίζω να θυμάμαι σωστά την έκφραση, αλλιώς βρείτε σύμβολο για ...τηλε-μούντζα!! χαχαχα. Σημειωταίον...ο καθηγητής μου στην τρίτη Λυκείου, μου είχε πει...(ναί): "άρα λοιπόν, βλέπουμε οτι 1 εις την άπειρο, δέν κάνει 1, αλλα e"....μαλιστα...ναι...παμε παρακάτω. Πάντως, σε καμιά περίπτωση δέν θα ήθελα να το παίξω μαθηματικουρας, αλλα ε-όπως και να το κάνεις, κααααατι ρημαδομάθαμε κι εμείς στους Ηλεκτρολόγους στο ΕΜΠ ! Καλή συνέχεια σε όλους!!

Αλέξανδρος είπε...

Καταρχάς να διορθώσω και να πω ότι αριθμός 1,9999...998 δεν στέκει λογικά και δεν υπάρχει. Υπάρχει 0,999... , 0,777... 0,48923235546... αλλά όχι 1,9999...998 Δεν έχει νόημα να πεις ότι το άπειρο έχει τέλος το 8 ή ότι μετά από άπειρα ψηφία καταλήγουμε στο 8. Το άπειρο δεν τελειώνει ποτέ. Στη συγκεκριμένη απόδειξη προκαλείται σύγχυση γιατί όλοι μας αντιλαμβανόμαστε διαφορετικά την έννοια του απείρου. Όμως πιστεύω ότι είναι σωστή. Έχει αποδειχτεί καιΣτην ουσία το 0,999... είναι ένας διαφοερτικός τρόπος έκφρασης του 1.
1/3=0,3333...
2/3=0,6666...
3/3=0,9999...=1

Ανώνυμος είπε...

Guys όντως είναι ΣΥΓΚΛΙΣΗ σειράς, με άλλα λόγια είναι ΠΕΡΙΠΟΥ 1, όχι 1. Αλλιώς θα κατέρρεε η συνέχεια των πραγματικών, κ άλλων συνόλων. Είναι προφανές γτ δν ισχύει αυτό το παράδοξο. Άλλο 0.9...=1 και άλλο 0.999...~1 (όπου ~ περίπου)

Ανώνυμος είπε...

geia xara. oreo blog :). ta sxolia moy :

(1) estw x=0,999 => 10x=9,99. afairoyme ena x => 9x=9,99-0,999=8,991. opote einai la8os i apodiksi.
(2 + 3 + 4) einai la8os oi apodikseis. den mporeis na peis pws 1/9=1,1111... o,ti ki an leei to computeraki. etsi to ginomeno 9*1/9=1 akoma ki an ontws dixnei sto ginomeno 9*0,111...=1 den einai swsto. ayto poy mporeis na peis einai oti lim1/9=1/9 => lim1/9=0,111... alla h isothta me to 1 den isxyei.

sorry an sas enoxlhsa me to post moy :(.

Χρήστος είπε...

Ένα γενικό σχόλιο: το 0,999... δεν είναι περίπου ίσο με το 1. Είναι 1. Ακριβώς 1. Όπως ήδη παρατέθηκε είναι σειρά, "όριο" δηλαδή και ως γνωστόν το όριο ισούται Πώς λέμε limf(x)=0 για x->0 για παράδειγμα. Να.ι, μεν λέμε f(x)->0 όταν x->0, όμως limf(x)=0. Ίσο. Equal.
Κάποιες σκόρπιες σκέψεις.

D4R14N είπε...

Πιστεύω πως το βασικό πρόβλημα που προκύπτει από αυτήν τη διατύπωση, είναι η ισχύς της ισότητας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Προφανώς, η πρόταση ισχύει(εφόσον μιλάμε για όριο).

Μπορούμε, όμως, να πούμε:
0,999... = 1,000... ;

Υγ.: Πολύ καλή δουλειά παιδιά :) . Σας ευχαριστώ.

τα μαθηματικά συμβαίνουν είπε...

το 1 είναι το 0,999...
το 1,36 είναι το 1,3599...
το 234 είναι το 233,9999..
όλοι οι πραγματικοί έχουν δύο ίσες, αλγεβρικες παραστάσεις.

όταν λέω είναι, το εννοώ με τη λογική του
το 1/2 είναι το 2/4
το 7 είναι το 21/3

στην ευθεία των αριθμών, αν και δεν είναι τόσο αυστηρό αυτό, το 0,99... και το 1 είναι στο ίδιο σημείο. όπως είναι το 1/2 με το 2/4.

έτσι είναι τα πράγματα. έτσι είναι ορισμένα.

Ανώνυμος είπε...

Χαίρεται ! Δεν είμαι σίγουρη αν ισχύει κάτι τέτοιο αλλα απο τη στιγμή που πολλαπλάσιαζεις το 0,999.... Με το 10 μετα την υποδιαστολη υπάρχει ( ας πούμε ) ένα λιγότερο 9 άρα 9,99...-0,9999 δεν ισούται με 9.

Ανώνυμος είπε...

νομιζω οτι εχεις δικιο.
θεωρητικα ομως τα ψηφια μετα τν υποδιαστολη ειναι απειρα, οποτε δν αλλαζει κατι...

Σωτήρης είπε...

Θα συμφωνούσατε ότι 0,999... = 1-dx ? υποθέτω πως ναι. (δικαίως κάποιοι λένε ότι το 0,999... είναι όριο και όχι αριθμός). Αφού λοιπόν κατά την άποψή σας είναι ίσα, γιατί δεν τα υψώνετε εις το άπειρο? το 1 παραμένει 1, ενώ το (1+dx) γίνεται e!!! (μπορούμε να βάλουμε οποιαδήποτε σχετική μορφή ,π.χ. (1-dx), (1-5dx)κλπ, κάθε μια δίνει και έναν νέο υπερβατικό (?) αριθμό). Προσωπικά ΔΕΝ νομίζω ότι καλύπτουν οι αποδείξεις με τα τριάρια και τα εννιάρια, αφού είναι απλά πράξεις εντός πεπερασμένων αριθμών και επομένως εξακολουθούν να αγνοούν την ύπαρξη του απειροστού (dx) η οποία "ξυπνάει" με την ύψωση εις το άπειρο. Anyway, το θέμα δεν είναι απλο, και δεν θα πω ότι το κάλυψα (!!!!), αλλά ΣΕ ΚΑΜΙΑ περίπτωση δεν το πλησιάζουν τα κοπλάκια με το 1/3 κλπ... Μπορείτε να δείτε το dx ώς μια διαφορά η οποία δεν "φαίνεται" στους πραγματικούς (πεπερασμένους), αλλά δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει! Και για όσους διαφωνούν, ας μου πουν με τι ισούται το (1 + (1/χ)) με χ τείνων στο άπειρο. Με 1 ή με (1+dx) ??? ;) Ποιά η διαφορά?... Υψώστε στο άπειρο και δείτε!