17/10/07

Ο πιο λογικός άνθρωπος του κόσμου (;)


Να και ένα θέμα το οποίο έχει να κάνει περισσότερο με την ιστορία των μαθηματικών...
Kurt Gödel (λίγα λόγια για το background του). Αναμφισβήτητα ένας εκ των σημαντικότερων μαθηματικών όλων των εποχών ή τουλάχιστον ένας εκ των διασημότερων. Ένας (ίσως ο σημαντικότερος) από τους λόγους στους οποίους ο κ. Gödel οφείλει την διασημότητά του είναι αν μη τι άλλο, το θεώρημα της μη πληρότητας. Εν ολίγοις και υπερβολικά απλοϊκά (τόσο απλοϊκά που ίσως να είναι και λανθασμένα) αυτό που ο αυστριακός μαθηματικός υποστήριξε (και απέδειξε, αλλιώς δεν θα το λέγαν θεώρημα της μη πληρότητας) είναι ότι οποιοδήποτε σύστημα και αξιωμάτων αν πάρουμε, μπορούν να προκύψουν προτάσεις οι οποίες να μην μπορούν να αποδειχθούν, καταρρίπτοντας την μέχρι τότε βαθύτατη πεποίθηση, μιας άλλης μορφής των μαθηματικών του Hilbert ότι "Wir müssen wissen. Wir werden wissen" ("Πρέπει να μάθουμε. Θα μάθουμε.") ήτοι ότι μέσω των μαθηματικών μπορεί να φτάσει κανείς στην απόλυτη αλήθεια. Δηλαδή, αυτό που ουσιαστικά και πολύ γενικά έκανε ο Gödel ήταν να αποδείξει ότι στα μαθηματικά μπορούν να υπάρξουν προτάσεις οι οποίες δεν αποδεικνύονται. Αλλά όλα τα παραπάνω δεν μας αφορούν. Αυτό το οποίο έχει ακόμη περισσότερο ενδιαφέρον, είναι ότι ο Gödel εκτός των άλλων συνέβαλε τα μέγιστα στον χώρο της λογικής των μαθηματικών (και αυτό είναι ίσως το μόνο κοινό το οποίο είχε με τον προαναφερθέντα "πολέμιό του"). Το περίεργο (και εδώ ακριβώς είναι το ενδιαφέρων μέρος του άρθρου - ναι, όλα τα υπόλοιπα είναι απλώς σάλτσα) είναι ότι ήταν πλατωνιστής... [ΠΡΟΣΟΧΗ: Ακολουθεί παρένθεση (μεταφορικά, όχι κυριολεκτικά) η οποία εξηγεί τον πλατωνισμό στα μαθηματικά, όσοι θεωρούν ότι γνωρίζουν αρκετά σχετικά με αυτό μπορούν να την παραλείψουν χωρίς κανένα κόστος, εγγυούμαστε γιαυτό. Όσον αφορά, τα μαθηματικά λοιπόν, υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις. Η μία είναι, όπως ίσως θα χαρακτηρίζαμε, η πιο ορθολογιστική, δηλαδή ότι τα μαθηματικά είναι καθαρά ανθρώπινο δημιούργημα, το οποίο προήλθε από συγκεκριμένες ανάγκες του ανθρώπου και μετά εξελίχθηκε σε θεωρητικό επίπεδο και μπλα μπλα μπλα... Η δεύτερη είναι η πλατωνική, βασισμένη σε θεώρηση του Πλάτωνα (σωωωωώπα!!!), η οποία, εν ολίγοις, υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά ουσιαστικά προϋπάρχουν στον "κόσμο των ιδεών" με την μορφή ιδεών και αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί είναι να τα μεταφέρουν στον δικό μας κόσμο. ΤΕΛΟΣ ΠΑΡΕΝΘΕΣΗΣ (μεταφορικά, όχι κυριολεκτικά): εσείς που δεν διαβάσατε το παραπάνω κομμάτι μπορείτε να συνεχίσετε χωρίς κανένα κόστος, εγγυούμαστε γιαυτό.]
Έτσι λοιπόν, καταλήγουμε στο ότι ένας ίσως εκ των "λογικότερων" ανθρώπων της εποχής του, είχε μια πεποίθηση όσον αφορά τα μαθηματικά, που αν μη τι άλλο, στα μάτια της ομάδας φαντάζει τουλάχιστον παράλογη. Παράδοξο, δεν είναι;

(by Χρήστος)

4 σχόλια:

D4R14N είπε...

Είναι πράγματι από τους πιο κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου. Βέβαια, να πούμε οτι πέθανε από ασιτία(όντας 33 κιλά!!!), γιατί πίστευε οτι ήθελαν να τον δηλητηριάσουν!

Η κατάρα του να ξεφεύγεις από τα κοινά πλαίσια της λογικής(ή μάλλον, να είσαι εγκλωβισμένος σ' αυτά)...

τα μαθηματικά συμβαίνουν είπε...

Γκέντελ.. τρέλα!! εγώ, όχι αυτός.. παλεύω να τον καταλάβω, να βρω παραδείγματα του θεωρήματος του..

αυτό που απέδειξε, νομίζω ότι δεν είναι απλά ότι υπάρχουν προτάσεις που δεν αποδεικνύονται. προτάσεις τέτοιες είναι και τα αξιώματα. που δεν αποδεικνύονται,

αυτό που νομίζω είπε ο Γκέντελ, είναι ότι υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν είναι δυνατό να αποδειχθούν στα πλάισια μιας θεωρίας. ας πούμε αποδεικνύεται ότι ισχύει μια πρόταση στη θεωρία συνόλων, αλλά η ίδια πρόταση, διατυπωμένη με μέσα της κατά Peano θεωρίας, δε μπορεί να αποδειχθεί.

Διορθώστε με, αν κάνω κάτι λάθος, δεν τα ξέρω καλά.

D4R14N είπε...

Πριν από το θεώρημα της μη πληρότητας, οι μαθηματικοί πίστευαν πως η αλήθεια ήταν άμεσα συνυφασμένη με την απόδειξη(δλδ, κάθε αληθής πρόταση ήταν δεδομένο πως είναι αποδείξιμη). Η αλλαγή που επέφερε το θεώρημα του Γκέντελ είναι ο διαχωρισμός των εννοιών "αλήθεια" και "απόδειξη". Αυτό είναι πολύ σπουδαίο καθώς μας δείχνει πως οι αλήθειες στα μαθηματικά υπάρχουν ανεξάρτητα από το αν αποδεικνύονται ή όχι(μια πλατωνιστική θεώρηση θα λέγαμε). Έτσι, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα πως στα μαθηματικά ανακαλύπτεις και δεν εφευρίσκεις.

Χωρίς να θέλω να κάνω διαφήμιση, σου προτείνω την γραφική νουβέλα των Δοξιάδη και Παπαδημητρίου, Logicomix(για ένα ευχάριστο ταξίδι στην αναζήτηση των θαμελίων των μαθηματικών). Βέβαια, έχει ένα αρνητικό το βιβλίο. Είναι σχετικά ακριβό...

teardrop είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.